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Algèbre de Boole

Du nom du mathématicien britannique George Boole

(Le mot algèbre est féminin)

Définition mathématique

En mathématiques, une algèbre de Boole est un triplet (B,+,*) dans lequel B est un ensemble, + et * deux opérations internes sur B (Bien entendu ces deux opérations n'ont à priori aucun rapport avec l'addition et la multiplication définies sur l'ensemble des entiers naturels ou l'ensemble des nombres réels) qui satisfait aux conditions suivantes :

1. Les deux opérations + et * sont commutatives :

Quels que soient x et y éléments de B :

x + y = y + x

x * y = y * x

2. Les deux opérations + et * sont associatives :

Quels que soient x, y et z éléments de B :

(x + y) + z = x + (y + z)

(x * y) * z = x * (y * z)

3. Les opérations + et * admettent un élément neutre.

Si on note 0 l'élément neutre de l'opération + et 1 l'élément neutre de l'opération *, on a :

quel que soit x élément de B :

x + 0 = x

x * 1 = x

4. L'opération + est distributive par rapport à l'opération * et l'opération * est distributive par rapport à l'opération +.

Quels que soient x, y et z éléments de B :

x + (y * z) = (x + y) * (x + z)

x * (y + z) = (x * y) + (x * z)

5. Tout élément x de B possède un complément noté x' tel que :

x * x' = 0 et x + x' = 1

Utilisation

L'algèbre de Boole permet une approche algébrique de la logique. Elle a de nombreuses applications dans la conception des circuits électroniques.

Pour en savoir plus

Wikipedia

OpenClassrooms

Anglais
boolean algebra.
Allemand
Die boolesche Algebra.
Bibliographie
CASANOVA G. L’algèbre de Boole [En ligne]. 4e éd. mise à jour. Paris : P.U.F, 1979. 128 p.(Que sais-je ?, 1246) ISBN : 978-2-13-036293-7. Consultable à la BnF.
CORI R., LASCAR D., KRIVINE J.-L. Logique mathématique, tome 1 : Calcul propositionnel, algèbre de Boole, calcul des prédicats. Paris : Dunod, 2003. 408 p.ISBN : 978-2-10-005452-7.
GIVANT S. R. Introduction to boolean algebras. New York : Springer, 2009. (Undergraduate texts in mathematics). ISBN : 978-0-387-68436-9.
PERMINGEAT N., GLAUDE D. Algèbre de Boole :  théorie, méthodes de calcul, applications  avec exercices. 2e tirage corr. Paris Milan Barcelone [etc.] : Masson, 1991. 211 p.ISBN : 978-2-225-81503-4.