Algèbre de Boole

(Le mot algèbre est féminin)

Définition mathématique

En mathématiques, une algèbre de Boole est un triplet (B,+,*) dans lequel B est un ensemble, + et * deux opérations internes sur B (Bien entendu ces deux opérations n'ont à priori aucun rapport avec l'addition et la multiplication définies sur l'ensemble des entiers naturels ou l'ensemble des nombres réels) qui satisfait aux conditions suivantes :

1. Les deux opérations + et * sont commutatives :

Quels que soient x et y éléments de B :

x + y = y + x

x * y = y * x

2. Les deux opérations + et * sont associatives :

Quels que soient x, y et z éléments de B :

(x + y) + z = x + (y + z)

(x * y) * z = x * (y * z)

3. Les opérations + et * admettent un élément neutre.

Si on note 0 l'élément neutre de l'opération + et 1 l'élément neutre de l'opération *, on a :

quel que soit x élément de B :

x + 0 = x

x * 1 = x

4. L'opération + est distributive par rapport à l'opération * et l'opération * est distributive par rapport à l'opération +.

Quels que soient x, y et z éléments de B :

x + (y * z) = (x + y) * (x + z)

x * (y + z) = (x * y) + (x * z)

5. Tout élément x de B possède un complément noté x' tel que :

x * x' = 0 et x + x' = 1

Utilisation

L'algèbre de Boole permet une approche algébrique de la logique. Elle a de nombreuses applications dans la conception des circuits électroniques.